数学史、整数論、数学オリンピック、未解決問題・・・をわかりやすく証明を通して解説していきます。

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フェルマーの最終定理 n=3の証明

ちょっと、この辺りで数学オリンピックは小休止しましょう・・・


こう、数学関連のブログを書いていると、なぜか「フェルマーの定理」を捜し求めてる人が多いんですかね?

アクセス解析でのキーワードでは、「フェルマー」が非常に多いんです・・・

以前に記事を書いたからでしょうか・・・


そんなに、気になる人が多いならば、また書きたいと思います。

以前に、n=4の時の証明を書きましたが、今回n=3の証明です。

(n=4の時の証明はこちら

では、問題

09041901.jpg


方針はn=4の時と同じで、奇数偶数と互いに素を使い続けます。

回答です。

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2009年04月19日 | 初等整数論 | トラックバック(0)件 | コメント(20)件



2009年日本数学オリンピック予選問題 第十二問

どもども~~

やっと、最終問題まできましたね
ホント、疲れてくるんですよね~~~


しかし、まぁ最終問題もサラッと終わらせちゃいましょう。


しかぁ~~~し、本選問題もあるではないですか!!!

な、な、なんと・・・

これも、いずれ挑戦しちゃいましょう。



では第12問目

09032001.jpg


この問題は、考えれば考える程、悩んでくる問題ですね。

問題文がややこしいんですよ・・・


数学オリンピックの予選問題は12問中、大体、一個か二個は問題文のややこしい問題がありますね??


要するに、わかりやすく言うと

「空間内にある10個の点の集合を平面で区切って、二つの集合に分ける方法はいくつありますか」

ってことですよ。

ちなみに、問題文は「半空間と部分集合の共通部分」なので、若干ニュアンスは違いますが・・・
イメージってことで・・・


まず、10個の点からなる多面体を想像します。

仮に10個の頂点を持つ多面体がこんな形していたとしましょう。

09032002.jpg


この図は、頂点の数10、辺の数24、面の数16です。

注意しましょう。
この多面体はどの4点も同一平面上にないんだから、多面体の面は全部三角形になりますよ。



では早速、解答していきましょう。



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2009年03月22日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(1)件 | コメント(2)件



2009年日本数学オリンピック予選問題 第十一問

もう11問目までやってきました。

いやはや、早いもんです・・・
それでは早速。

第11問

09031301.jpg


でましたね・・・ガウス記号。

いや~~な問題です。

では解答したい所なんですが、正直、端的な解答がわかりませんでした。


私は場合分けした後に、方程式を解く感じで行こうと思ったのですが、場合分けの数が多そうだったので断念しました。

ただ、問題は「解の総和を求めよ」なので、もっとバシッとした解法があると思います。

では解答。


まず、xはどんな数なのか??

与式の左辺は整数ですので、当然、右辺も整数になります。

という事は、xは44をかけると整数になる数。
即ち、xを既約分数で表した場合、分母が44の約数になる数という事ですね。

という事は
09031302.jpg
とおく事ができます。
(aはxを超えない最大の整数。bは0以上43以下の整数)



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2009年03月14日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(0)件 | コメント(1)件



2009年日本数学オリンピック予選問題 第十問

お、いつのまにやら10問目に突入ですね・・・

個人的には2008年度の方が時間かかったような気がします・・・


今回は展開早いっす。

では10問目

09030601.jpg


この問題は見るからに発想命という感じがします。

このままじゃ、絶対解けないです。

問題文にヒントもありません。

ヒントは自分で探せって事ですね。


数学はよく発想が必要っていいますけど、本当に発想が必要な問題って少ないんですよね・・・

結構、数字や式をこねくり回しているとヒントが突然現れるんですよ。

では解答。

09030602.jpg


そして、肝心のヒントを探しましょう。

09030603.jpg


お~~~っと、いいヒントが出てきたでしょ??

ここまでは大した事してないけど気づきましたか??


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2009年03月08日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(0)件 | コメント(3)件



2009年日本数学オリンピック予選問題 第九問

では、早速


09030501.jpg


問題分、長すぎます・・・

こういう長い文章は抵抗あります・・・


でも、よくよく読んでみると、あまりややこしい問題でもないんだな、これも。

では解答します。



面倒くさいので、5つの言語をそれぞれA、B、C、D、Eとしましょう。

この5つの言語から2つ取り出す組み合わせは5C2だから10通り。

そして、通訳の人間の数は10人で、それぞれが違う言語の組み合わせになっているんだから
AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE
という風に、10人がいるという事になりますね。

この10人が2人ずつ5つの部屋に宿泊するわけです。


まず、1部屋目にABが泊まるとすると、相部屋になれるのは
AC、AD、AE、BC、BD、BE
の6名ですね
09030502.jpg


ここで、ACがABと同じ部屋になったとしよう。
そうすると、ADは誰と同じ部屋になるか?


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2009年03月08日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(0)件 | コメント(0)件



プロフィール

オイラー

Author:オイラー
・得意分野
 整数論、解析学、幾何学
 複素数、数列 etc
・苦手分野
 行列、群論

質問、相互リンク等連絡があれば、kick_back_endless_shock◎yahoo.co.jpまでお願いします。

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