遊びの数学を本気で楽しむ

古代エジプトの時代から、幾何学を学ぶと、まず始めに出てくるのが、「正多角形の作図問題」である。

定規とコンパスのみを使った古典的手法で、いかに正多角形を描くかを探求していくわけだ。



定規とコンパスを使えば、正三角形、正四角形、正六角形など簡単に作図が可能である。

それを拡張して、「正八角形」、「正十二角形」もそれぞれ「正四角形」「正六角形」の辺を二等分していく事で作図が可能となる事がわかるだろう。


要するに「正素数角形」が作図できれば、角や辺を二等分したり重ね合わせたりすることで、すべての「正多角形」が作図できるはずである。


実は正三角形、正方形、正五角形、および2や3や5に2の累乗数をかけた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの時代より知られていた。

しかし、正七角形以上の「正素数角形」は、当時は作図できるかどうか未解決であった。


これに関する話は、また話すとして、今回は「正五角形の作図」に挑戦したいと思う。



正直言って、余計な知識なしに、コンパスと定規だけを手に持って正五角形が書ければ、その人は恐ろしい直感を兼ね備えてると思われる。

普通に人には計算を無くして、正五角形を作図することはおそらく不可能に近い。

では早速いってみよう。

youtubeで「たけしのコマネチ大学数学科」という番組を見てたら、大変興味深い問題をやっていた。



「コンパスのみで円周を四等分できるか？」という問題であった。


ちょうど話のネタとして、「正多角形の作図」をテーマに記事を書いてみようと思っていたので、その前フリとして紹介してみたい。



問題のポイントは使用できるのはコンパスのみで、決して定規を使ってはいけないという所。

定規を使ってはいけないという事は、つまり直線を引けないという事である。

ちなみに、この問題は出演者は誰も解くことができなかった。



一度、挑戦してみるといい。


この状態から何を始めればいいのか？

定規が使えれば、即答できる。
コンパスだけでは、直線が書けないので、垂線や角の二等分線が書けないという状況に困惑することになるだろう。

しかし、コンパスだけでも全く情報がないというわけではない。

コンパスで円を書いたら、その円の「半径」を使って「円周の六等分」は書く事ができる。


それでは、答えを書いてみよう。