遊びの数学を本気で楽しむ

どもども～～

やっと、最終問題まできましたね
ホント、疲れてくるんですよね～～～


しかし、まぁ最終問題もサラッと終わらせちゃいましょう。


しかぁ～～～し、本選問題もあるではないですか！！！

な、な、なんと・・・

これも、いずれ挑戦しちゃいましょう。



では第12問目




この問題は、考えれば考える程、悩んでくる問題ですね。

問題文がややこしいんですよ・・・


数学オリンピックの予選問題は１２問中、大体、一個か二個は問題文のややこしい問題がありますね？？


要するに、わかりやすく言うと

「空間内にある１０個の点の集合を平面で区切って、二つの集合に分ける方法はいくつありますか」

ってことですよ。

ちなみに、問題文は「半空間と部分集合の共通部分」なので、若干ニュアンスは違いますが・・・
イメージってことで・・・


まず、１０個の点からなる多面体を想像します。

仮に１０個の頂点を持つ多面体がこんな形していたとしましょう。




この図は、頂点の数１０、辺の数２４、面の数１６です。

注意しましょう。
この多面体はどの４点も同一平面上にないんだから、多面体の面は全部三角形になりますよ。



では早速、解答していきましょう。

もう１１問目までやってきました。

いやはや、早いもんです・・・
それでは早速。

第１１問




でましたね・・・ガウス記号。

いや～～な問題です。

では解答したい所なんですが、正直、端的な解答がわかりませんでした。


私は場合分けした後に、方程式を解く感じで行こうと思ったのですが、場合分けの数が多そうだったので断念しました。

ただ、問題は「解の総和を求めよ」なので、もっとバシッとした解法があると思います。

では解答。


まず、ｘはどんな数なのか？？

与式の左辺は整数ですので、当然、右辺も整数になります。

という事は、ｘは４４をかけると整数になる数。
即ち、ｘを既約分数で表した場合、分母が４４の約数になる数という事ですね。

という事は

とおく事ができます。
（ａはｘを超えない最大の整数。ｂは０以上４３以下の整数）

お、いつのまにやら10問目に突入ですね・・・

個人的には2008年度の方が時間かかったような気がします・・・


今回は展開早いっす。

では10問目




この問題は見るからに発想命という感じがします。

このままじゃ、絶対解けないです。

問題文にヒントもありません。

ヒントは自分で探せって事ですね。


数学はよく発想が必要っていいますけど、本当に発想が必要な問題って少ないんですよね・・・

結構、数字や式をこねくり回しているとヒントが突然現れるんですよ。

では解答。




そして、肝心のヒントを探しましょう。




お～～～っと、いいヒントが出てきたでしょ？？

ここまでは大した事してないけど気づきましたか？？

では、早速





問題分、長すぎます・・・

こういう長い文章は抵抗あります・・・


でも、よくよく読んでみると、あまりややこしい問題でもないんだな、これも。

では解答します。



面倒くさいので、５つの言語をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとしましょう。

この５つの言語から２つ取り出す組み合わせは5Ｃ2だから１０通り。

そして、通訳の人間の数は１０人で、それぞれが違う言語の組み合わせになっているんだから
ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＡＥ、ＢＣ、ＢＤ、ＢＥ、ＣＤ、ＣＥ、ＤＥ
という風に、１０人がいるという事になりますね。

この１０人が２人ずつ５つの部屋に宿泊するわけです。


まず、１部屋目にＡＢが泊まるとすると、相部屋になれるのは
ＡＣ、ＡＤ、ＡＥ、ＢＣ、ＢＤ、ＢＥ
の６名ですね



ここで、ＡＣがＡＢと同じ部屋になったとしよう。
そうすると、ＡＤは誰と同じ部屋になるか？

どもども～

間髪入れずに次へ進みます。

この辺りから問題が面倒臭くなってきますね・・・


しかし、これもサッと終わらせていきたい所です。





これも、一見とっつきにくそうには見えるが、こういう写像のような問題は問題そのものにヒントが少ないので始めにできる事って限られてます。

そうです！
具体的な数字を代入してヒントを見つける事です。

では早速・・・




ここまではすんなりいけたでしょうか？

次に、これを元の式に代入しなおしてやりましょう。