遊びの数学を本気で楽しむ

いきなりですが、問題です。



この問題は、過去の国際数学オリンピックの問題です。

こんな難問を高校生が解くんですから、やはり国際数学オリンピックに出場するような人は何か違うんでしょうね・・・

はっきり言って、この問題を何のヒントもなくできる人は異常です。
（実際、数学オリンピックではヒントはありません）


まず、「存在することを示せ」と言われた場合、飛び道具的な証明方法があるのです。
それは「具体的に出してやる」という事。

例えば、

といった問題があったとしましょう。

実は、この問題に証明は要りません。

ただ
x=3、y=4、z=5で成立すると言ってやればいいのです。
これだけで、十分「存在すること」を示しているんです。


難しいようで簡単、簡単なようで難しい。
知識詰め込みは役に立ちますが、必ずしも必要条件ではないのです。

新しい事への挑戦は、発想の転換が成し得るんではないでしょうか？


では美しく鮮やかな証明をどうぞ

ご無沙汰しておりました・・・

ここのところ、ずっとバタバタしておったもので、しばらく更新する時間がなかったのですが、明日は休みという事で久しぶりに記事を書いてみたいと思います。


ここ最近、フェルマーの最終定理やらコラッツ問題、完全数といった整数にかかわる記事が多いかと思います。

まぁ、私自身、数学の何がおもしろいかと言われると、やはり「整数の美しさ」と思っております。
ですんで、必然的にこうなってしまうわけですな・・・

やはり、私にとって数論は数学の女王なのです。


また、勘の鋭い方はお気づきだと思います。
整数に関する問題のほとんどは、「素数」に何かしら関係を持っているのです。

「数学は科学の女王」
「数論は数学の女王」
であれば
「素数は整数の女王」

ってなわけです。

という事で、そんな素数の性質を一つ。



もちろん、解き方はｎに素数を代入していくという方法をとる。


なので、ｎが１、３の時には題意が成立することが確認できる。

問題を言い換えることができる。



これを示せればよいことになる。

素数に関して、今回はかなり突っ込んだ内容を話したい。

素数は無限に存在する事は分かったが、素数の性質そのものに関しては、しばらくの間何も分からなかった。

一体、素数って何者なのか？
謎だけが深まる。



それを1737年、オイラーが一歩を踏み出すこんな式を発見した。

　

これは、「自然数全体に関する和」と「素数全体に関する積」が等しいという驚くべき式である。

やはり、素数はただ無秩序に存在しているわけではなく、自然数と密接な関係を持って存在している。


しかし、この式を見て、どう思うだろうか？
「なんだこれ？」
が率直な感想だと思う


これを解説していきます。

前回、素数に関してごく初歩的な事を書いた。
今回もまた同様に初歩的な事をわかりやすく書きたいと思う。


素数は「1とその数自身以外に正の約数を持たない」という性質から、自然数の中に紛れつつ「原子」のような存在感を放っている。



計算技術がまだ紙と鉛筆の時代には、最大の素数を見つける事も一苦労だったという事を前回書いたが、果たして

「素数は無限にあるのか？」
「素数には限りがあり、最大の素数があるのか？」

を示したいと思う。

先に言うと、「素数は無限に存在する」のだが、その証明は知っていなければ、なかなか示せないものではないか？

正直言うと、自分も中学の頃、この証明に直面してストレートの解答を示せなかった記憶がある。


では証明

素数というのは非常に不思議な数である。

これほどまでに、数学者達を魅了し挑戦させ続けるが、その挑戦をはなから拒み、いまだ解明を否定し続けている。

実際、素数に関してはまだまだ未解決な問題も多い。



２５００年以上昔、ピタゴラスの時代から自然数（1、2、3、4・・・）をあらゆる角度から考察してきたが、素数に関しての理解はその後2000年近く、ほとんど進歩しなかった。

特にコンピューターが数学において強力な武器となっている現代ならいざしらず、昔は計算も全て紙と鉛筆である。
当然、大きな素数を探し出すにも限界があった。


ちなみ現在見つかっている最大の素数は