遊びの数学を本気で楽しむ

どうも～～こんにちわ


いつの間にか、半月に一回の更新になってます・・・

せめて、週に一回は更新させたいとは思ってたのですが、これが何とも。。。


最近、latexの調子が悪くてですね～再度インストールしなおしたりと、なかなか数学環境の悪さもあったのであります。
健康診断でバリウム飲んで、腹痛を起こすわで大変だったと言い訳しておきます。


さて、数学オリンピックの本選問題もなんだかんだで最終まで来てしまいました。




私的には、「これでこそ数学オリンピック」と頷いてしまうような問題でした。

難問と言って差し支えないと思います。
これをさらっと証明できれば、自分に自信を持ってもらって間違いないと思います。

まずは問題を正しく理解しましょう。


ｎがある整数ならば、すべての有理数が、ｎ個の整数の逆数の和に整数を足したモノで表せるかどうかという事ですね。

もちろん、証明するに当たって存在するかしないかを自分で決めて証明していく事になります。


おそらく、存在しないっぽい感じです。



では証明。

最近、更新の頻度が非常に落ちているのにも関わらず、たくさんの人に見てもらえて感謝です。

しかし、こういったブログを見る人ってどんな人なんだろうと思うのも正直あります。
昔から、数学マニアというのは圧倒的少数派なので、こういう数学に興味を持つ人は少ないと勝手に判断したりしてましたが、それは間違っているんですね。

やはり、色んな意味で数学好きはあちこちにいるんですね。


数学オリンピック本選問題も第４問目まできました・・・

かなりペース落ちます。
こういう難問を解答して見せるというのは実に勇気がいるものでして、なかなか完全な正答でなければ書きにくいものです。

しかし、最大限の勇気を持って、解答したいと思います。





はっきり言って、私的には超難問です・・・


こういった問題は、国際数学オリンピックでも本選でも、ここ最近の定番の形ではありますが、こと本選では、ほとんどの人が高得点をとれないだろうと思われます。


というのも、こういった問題は「関数は写像である」という事を正しく認識していないと、証明に穴ができてしまうのです。
最後の答えがほとんど正解に近いからと言って高得点が得られる世界ではありません。

考え方に穴ができてしまうまでが部分点という正しい数学の世界では、こういった問題は非常にやっかいなのであります。





ここで、注目！！

f(x)　というのはあくまで写像であるという事に注意して、安易に答えをださないようにしましょう。

いやはや、先日から風邪引いたかなと思ってましたら、日曜月曜と４０度近くの熱が出てしまい、この二日間はずっと布団の中でうずくまっておりました。

昨日まで、体調はよくなかったのですが、また今日から復活という事で、自分に鞭を打って、ブログを更新させようと思います。


第三問



実は恥ずかしながら私は幾何学に関して、発想が豊かな自信がありません。

ですので、幾何学の問題を見ると、ついつい座標を置いて解析的なアプローチを試みたり、ベクトルや複素数を使ったりできないか模索してしまう癖があるのですが、どうもこの問題はうまくいきそうな気配がしません。

仕方なく、オーソドックスに幾何的な観点から問題を解くことにします・・・

ちなみに、解析的なアプローチで方程式を立てまくるとえらい混乱します。
（ただ、回転に始めに気づけばいけなくもない）


まず、円Ｏが三角形ＡＢＣの外心だから、Ｏを中心に頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通るように円がかける。

また、ＢＣ＝ＰＱだから、Ｐ、Ｑはどちらも線分ＡＢ、線分ＡＣ上にあることはないですね。

図にすると、こんな感じです。



点Ａ、Ｏを通る円の中心をＲとします。
この時点では点Ｒはどこかは不明ですね。

第二問です。



2008人？？なにやら、見たことのあるような、無いような問題・・・

どうやら、今年の数学オリンピックは丸い机に座るのが好きなのか・・・
そして、前回は右隣だったような・・・
（数学オリンピック予選第10問）


正直言って、こういう問題苦手です。


こと数学オリンピックのような難問・奇問は、問題文が短ければ短いほどヒントを見つけにくい為、難しいと言いますが、私は長い問題はあまり好きではありません。

この問題を解くのと、2008人が座れる円形の机を作るのとどちらの方が難しいのか？


では、解答してみます。


このままだと、何ターンなのか想像もつきませんね。

一度、実験してみましょう。

勝手に左周りに番号をつけて、１，２，３の席の人は赤いカード２枚。
他は、皆白いカードしか持っていないとします。



こんな感じですね。

という事は次のターンは



2ターン目



3ターン目



ってな感じですね。

どうやら、この調子で行くと、７ターン目で一枚ずつになる。

ふと、数学オリンピックのHPを見てみると、数学オリンピック本選問題が掲載されてるのね。

予選の時は、結構、すぐに掲載されてたけど、本選は掲載まで時間がかかるのどうしてだろう？？

ちなみ、問題はこちら
2008年日本数学オリンピック本選

なんか、これを見つけてしまっては、解かざるをえないのだろうか。
何しろ、予選を解答してしまったので、本選もやらなければ何か気持ち悪いし、だからと言って、難問とは言えども解こうとしてわかりませんでしたじゃ、格好悪すぎる・・・

しかし、理学部数学科出身としてのプライドにかけて、解いてみることにします・・・



まぁ、やはり予想通り難問の連続ですね。

本選の問題は計5問を4時間で解く。
1問当たり、48分。

予選を突破した100人前後の数学猛者が試験に挑戦して、5問中2問完答すればほぼ本選通過20名になるというのだから、それだけ難問が揃っていると理解して間違いない。

・・・と言い訳してみました。

1問当たり、48分とは言いましたが、実際には1時間はかかると思って間違いはないでしょうね