遊びの数学を本気で楽しむ

「フェルマーの最終定理」
即ち、ｎが全ての自然数の時の証明をここに書くことはできないという事を前回書いた。

恐らく、私自身、それを読む機会があったとしても理解はできないだろう。

という事で、その一部、「ｎ＝４」の時の証明をしてみたいと思う。

ちなみに、この「ｎ＝４」の証明は、「最終定理」の中では、ほんの序章の中の序章にも過ぎない。
それでも、やはり専門的な知識と発想が必要である。

できるだけ、ちょっとした所に理由を書いて、簡単にわかりやすくしたつもりなので、是非じっくりと読んでいただきたい。


（問題）



またも、記事が非常に長くなります。
気になる方だけどうぞ

前回の記事に、「フェルマー」というキーワードが出たので、これを機に「フェルマーの最終定理」について記事にしたいと思う。


このブログを読んでくれるような方は、なにかしら数学に興味を持ってる方と思われる。
当然、ある程度の数学的知識をもってるだろう。（知識は深い必要はない）


そして、「フェルマーの最終定理」がついに証明された事実を知っている方も多いと思う。

言うまでもないが、問題はこう

ｘ、ｙ、ｚが整数ならば


というものである。

しかし、具体的な証明内容については、数学を生業としている方以外にはあまり知られていない。

まぁ、ちなみにいうと、数学を生業にしているような方でないと理解もできないらしい・・・


しかし、だからと言って、知らないままにしておくのはもったいないという事で、「フェルマーの最終定理」の一部について、証明を試みてみようと思う。



その前に、「無限降下法」という証明方法について述べたいと思う。
そして次回、実際に「フェルマーの最終定理」の証明を書きたいと思う。

コラッツ予想というのをご存知だろうか？？

この内容というのは


任意の０でない自然数Ｎをとり、

○Ｎが偶数の場合、Ｎを２で割る

○Ｎが奇数の場合、Ｎに３をかけて１を足す

この操作を繰り返すと、有限回で１に到達する。




この問題は1937年に、問題提起されてから、未だ解決していない。
いわゆる、未解決問題である。


数学には、まだまだたくさんの未解決問題があるが、その中でも、問題そのものが非常に単純明快なものとして、非常に有名である。


この問題が、今現在、どの辺りまで証明が進んでいるのかはわからない。


ただ、「27,021,597,764,222,976」以下の自然数で、このコラッツ予想が正しいとわかっている。


ほんの少し触ってみよう。

いやはや、またまた前回記事からかなり期間があいてしまいました。

というのも、実は私、プライベートで海外旅行へ行ってたのであります。

一週間以上、まったくパソコンを開かない状態ではありましたが、その間にもたくさんの方が、このブログを見てくださっているというのは、この上ない喜びであります。


結局、数学オリンピックの問題全12問、全て解答させました。


中途半端に解答を辞めて違う記事を書く事もできたんですが、あえて、そうしなかったのには訳があるのです。

実際、数学オリンピック問題を解答しているブログを多数見かけることはできるが、難問に関して、また、後半の問題に関して、ほとんど記事を見たことがない。

あったとしても、
「そこをわかりやすく教えてほしい」
と突っ込みがきそうな表現が多い。

「これを、どうにか伝える事ができないか？」

特に、数学オリンピックを受けるような数学マニアにとっては、「試験が終わったら、別に解答はどうでもいい」というのは気持ち悪くて仕方がない。

「そんな気になって仕方がない」を最大限、克服させるのが、私のブログの使命と感じている。

そういう意味でも、あえて12問全問題を連続で解答してやろうと思ったのです。
そこはあえて了承願いたい所でございます。


という事で、次回の記事からはまた、数学的探究心をくすぶるような記事を書くとして、今回は最後の12問目にチャレンジしたいと思います。



（第十二問）



私自身はすごく良問だと思う。

乗りかかった船とは言うけれど、ここまで連続で「数学オリンピック」の問題をやり続けると、まるで「数学オリンピックブログ」になっているよう。

そろそろ、「最近の記事」一覧も「数学オリンピック」で埋まってしまいそうな勢いである。

しかし、まだブログを始めて二ヶ月だが、検索キーワードに「数学オリンピック　2008」で訪問してくれる人がかなり多い。
非常に光栄なことだ。

まぁ、ここまで記事を書けば、そうなるのも当たり前かもしれないけど・・・


（第十一問）



図にするとこんな感じ。
ちょっと歪んでるけど、気にせずに・・・



おそらく、解き方としては色々あると思う。

補助線を色々加えて、幾何的に解くというのもありだろう。


今回は、この図を「ＸＹ平面」に重ねて、「座標」からアプローチしていくことにする。

この「ＸＹ平面」に重ねる作業というのも、コツがある。
原点を、どの点に合わせるかで、後の計算が、大幅に楽になるのだ。

またまた、難問が続きますな～

今は、仕事の為に、数学は少し休憩しようかなと弱音を吐いておりますが、何のこれしき・・・

これくらいで、「あきらめてどうするんだ」と自分に鞭を入れて、続いて問題を解いていきたいと思います。


（第十問）


まさに、「集合」「離散数学的アルゴリズム」という「数学オリンピック」の十八番のパターンですね。
予選問題にしては、少し難しいような気がします。（自分が苦手だからそう思うのか・・・）

円順列に関する問題は、「頭の整理」と「イメージ」に尽きるような気がします。


初めて問題を見る方は、一度、落ち着いて問題を解いてみることオススメします。


ちなみに言いますが、かなり解答が長くなります。

読む覚悟がある方のみ、続きを読んで下さい。

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