遊びの数学を本気で楽しむ

ふと、数学オリンピックのHPを見てみると、数学オリンピック本選問題が掲載されてるのね。

予選の時は、結構、すぐに掲載されてたけど、本選は掲載まで時間がかかるのどうしてだろう？？

ちなみ、問題はこちら
2008年日本数学オリンピック本選

なんか、これを見つけてしまっては、解かざるをえないのだろうか。
何しろ、予選を解答してしまったので、本選もやらなければ何か気持ち悪いし、だからと言って、難問とは言えども解こうとしてわかりませんでしたじゃ、格好悪すぎる・・・

しかし、理学部数学科出身としてのプライドにかけて、解いてみることにします・・・



まぁ、やはり予想通り難問の連続ですね。

本選の問題は計5問を4時間で解く。
1問当たり、48分。

予選を突破した100人前後の数学猛者が試験に挑戦して、5問中2問完答すればほぼ本選通過20名になるというのだから、それだけ難問が揃っていると理解して間違いない。

・・・と言い訳してみました。

1問当たり、48分とは言いましたが、実際には1時間はかかると思って間違いはないでしょうね

いきなりですが、問題です。



この問題は、過去の国際数学オリンピックの問題です。

こんな難問を高校生が解くんですから、やはり国際数学オリンピックに出場するような人は何か違うんでしょうね・・・

はっきり言って、この問題を何のヒントもなくできる人は異常です。
（実際、数学オリンピックではヒントはありません）


まず、「存在することを示せ」と言われた場合、飛び道具的な証明方法があるのです。
それは「具体的に出してやる」という事。

例えば、

といった問題があったとしましょう。

実は、この問題に証明は要りません。

ただ
x=3、y=4、z=5で成立すると言ってやればいいのです。
これだけで、十分「存在すること」を示しているんです。


難しいようで簡単、簡単なようで難しい。
知識詰め込みは役に立ちますが、必ずしも必要条件ではないのです。

新しい事への挑戦は、発想の転換が成し得るんではないでしょうか？


では美しく鮮やかな証明をどうぞ

ご無沙汰しておりました・・・

ここのところ、ずっとバタバタしておったもので、しばらく更新する時間がなかったのですが、明日は休みという事で久しぶりに記事を書いてみたいと思います。


ここ最近、フェルマーの最終定理やらコラッツ問題、完全数といった整数にかかわる記事が多いかと思います。

まぁ、私自身、数学の何がおもしろいかと言われると、やはり「整数の美しさ」と思っております。
ですんで、必然的にこうなってしまうわけですな・・・

やはり、私にとって数論は数学の女王なのです。


また、勘の鋭い方はお気づきだと思います。
整数に関する問題のほとんどは、「素数」に何かしら関係を持っているのです。

「数学は科学の女王」
「数論は数学の女王」
であれば
「素数は整数の女王」

ってなわけです。

という事で、そんな素数の性質を一つ。



もちろん、解き方はｎに素数を代入していくという方法をとる。


なので、ｎが１、３の時には題意が成立することが確認できる。

問題を言い換えることができる。



これを示せればよいことになる。

前回の記事で、完全数がいかに特殊な数なのかが分かったと思います。



この（　）の中の「（２のｎ乗）－１」という数はメルセンヌ数と言われており、特に、この数が素数の時、メルセンヌ素数と呼ばれている。

偶数の完全数は、完全にメルセンヌ素数によって対応しているという事。

もちろんこのメルセンヌ数、ｎに自然数を入れていけば、無限にメルセンヌ数を作ることができる。
しかし、残念ながら、メルセンヌ素数は無限にあるのかどうかは分かっていない。

従って、完全数もまた、無限にあるのかわからないのです。


という事で、完全数の不思議な特性を一つ



例えば、Ｎ＝６の時
約数は、１，２，３，６なので


Ｎ＝28の時
約数は、１,２,４,７,１４,２８なので

いまさらですが、完全数・・・

大体、このブログのような数学系サイトを見られる方にとって、最も有名な数の一つである完全数など今更だとはお思いでしょうが、もう少し突っ込んでみたいと思います。

完全数というのは「6（＝1+2+3）」のように、その数自身以外の約数の和が、その数と等しい自然数の事で、6以外には、28、496、8128、・・・がある。


ピタゴラス学派は、初めの完全数が「6」なのは「神が6日間で世界を創造した」こと、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと考えていた。
我々からすれば、いかにもとってつけたかのような考え方ではあるが、整数の性質についてほとんど知られなかった時代に、「万物は数である」と考えていたピタゴラスは、よほど完全数に神秘的な美しさを感じていたに違いない。


コンピューターの発達した現代でさえ、未だ完全数は44個しか見つかっておらず、全てが偶数である。
ある数が完全数なのかどうかを調べさせるのも、かなり苦労のいる作業なようです。

その44番目の完全数というのが

で、（　）で括られている方の数の桁数で、980万8358桁だというのだから、時間もかかるというもうなづける。


そして、未だ「完全数は無限にあるのか？」、「奇数の完全数はあるのか？」については未解決のままとなっている。

ブログのテンプレートを変えました。

変えたまではよかったんですが、backgroundを変更すれば巨大な空白ができるわ、margin、paddingを変更すればあちこちが歪むわ、アドセンスを挿入すれば背景がぐちゃぐちゃになるわ・・・

元々のテンプレートがカスタム使用になっていないからか、改造するとあちこちがずれる。
しかも、今まで使っていたテンプレートに合わせて、記事用画像を作っていたので、修正するのが大変でした。

HTMLやSSもやってみるとはまってしまうもんですね。

しかし、まぁ、HTML、SSの数字一つ変えるだけで、ぐちゃぐちゃにしてしまうパソコンの気持ちというのは、全くわかりません・・・



前回、年月日を求める公式を示したが、これも年月日がある周期性を持っているからこそである。

今回は、さらに十進法の不思議について書いてみたいと思う。



これは誰しもが経験上知っていると思う。

他に


これは

を分解すると

となる。


この場合も同様に

これを分配すると


なかなか、綺麗にまとまるものだと感心してしまう。


こういう変り種もあるので、是非どんなからくりがあるのか調べてもおもしろいと思う。



次に、「約数判定法」を示したいと思う。

例えば、「2で割り切れる」為には「下一桁が偶数」であればよいってやつである。
これも、（10のｎ乗）が織り成す美しさの一つである。

一週間が7日ということは、生活のリズムとして体で覚えている人が多いと思う。
そして、7日を基準に曜日が設定されている。

一ヶ月は31日、30日、29日、28日であったり、一年は365日、366日であったりするが、それも1年、4年といった周期で繰り返す。

現在のカレンダーは、紀元前46年以来用いられてきたものを修正した形で、1582年以降、世界各国で使用されているようです。

そのカレンダーの周期を用いて、年月日から曜日を計算する方法を紹介しようと思います。


まず、曜日を「7で割った余りｗ」として対応させる。


そして次に、12ヶ月も同様にｍで対応させる。


実は、この数は１ヶ月の日数の「7で割った余り」が関係している。