遊びの数学を本気で楽しむ

第６問目




やっぱり私は、こういう幾何問題は好きではないですね・・・

図にするとこんな感じかな？




自分は昔から、幾何問題はまず座標平面に置く癖があるので、それでやってみます。


点Ｏを原点に、点ＡをＸ軸上に、点ＢをＸＹ平面上に置きます。

すると、ＸＹ平面はこんな感じになるんじゃないですかね？




こうするとＢの座標はすぐわかりますね。

Ｂは（２√２、２√２、０）ですね。


ということで、点Ｃの座標を（ｘ、ｙ、ｚ）と置くと




ってな感じですね。

もう五問目まできたんですね。

今回は展開が早いですね～～

やはり、例年と比較して問題が簡単からなのでしょうか・・・

前回は、もっと解くの時間がかかっていたような気がします。


では第五問





あまり難しく考え過ぎずにいきましょう。

赤い玉6個、青い玉、黄色い玉が3個ずつなんだから、赤い玉6個がまず並んでいて、赤い玉と赤い玉の間に青と黄色の

玉を並べていくような感じを想像した方がわかりやすいと思います。

青い玉と黄色い玉は合計で6個なんだから、並べ方としては

の3通りしかない事がすぐにわかると思います。

この○の部分に青と黄色の玉を入れていけばいいわけだ。


まず、（１の場合）

隙間が5つあって、必ずこの5つの中に玉は入れないといけない。
そして、1つの隙間には青と黄色が1つずつ入っている。

青と黄色が両方入っている箇所は全部で５通り。
また、両方入っている箇所は「黄色、青」「青、黄色」と２通りの並べ方がある。

青か黄色のどちらかしか入ってない4箇所の並べ方は4Ｃ2=6通り

したがって、この場合の並べ方は５×２×６＝６０通り


（２の場合）

これは、すぐに出てきます。

６箇所の隙間に青か黄色の玉を入れればいいわけだから、6Ｃ3=20

よって、この場合の並べ方は２０通り

（３の場合）と（２の場合）は全く同じなので、これも２０通り


よって求めるべき答えは、１００通り


中盤に差し掛かっているというのに、なかなか「オリンピックらしさ」のないような気がしますね。

まぁ、そろそろ難しくなってくるんでしょうけど・・・

さてさて、問題も４問目に突入しました。

このあたりも、サクサクっと解いていっていきたいところです。




図にするとこんな感じですかね。




図にした瞬間、パッとひらめきました。

これは中線定理が早いんじゃないの・・・

（中線定理はこちら）

この図に「中線定理」をあてはめるために、AC=X、BM=Yと置いちゃいましょう。



それでは解答です。

出た～～～

数学オリンピック予選の十八番

「数え上げ問題」！！！

問題を見た瞬間にそれとわかる問題です・・・


数え上げ問題は面倒くさいですよね～～～


Cに1から順に数え上げる方法もありますが、ちょっと楽してみました。





では解答します。




この式を（3式）とすると、（3式）は命題の十分条件だから、少なくとも（3式）を満たしていなければ命題は満たさない事がすぐわかると思います。





数え上げても、さほど苦にならない位の問題でしたね。

この問題も5分位で解きたいところです。

以上！！！

ではでは、続いて第二問目へ突入しましょう。

この問題も超簡単でしたね。





図にするとこんな感じです。




点Aと、点Bから円の中心へ補助線を引いてやれば、すぐにわかるでしょう。







終了・・・


これも特に何を言う事もありませんでした・・・


この2問で5分ですね・・・

こんにちわ～

大変、ご無沙汰しておりました～～（汗）

なんかもう、腐ったブログに成り果ててしまっておりましたが、相変わらずたくさんのアクセスをいただいていたようでして・・・
反省です。

なかなか、こう最近は時間がとれなくなっておりますです。



しかし、しかし、時間だけはたっているようですね。

もう、数学オリンピックの季節なんですね。


最近は、会計の勉強をしたり宇宙論の勉強したりで、数学が少し遠ざかっておりました・・・

けれども、もともと「難問奇問への挑戦」を掲げてブログを立ち上げた訳ですから、また、地獄の日々に挑戦したいと思います。


それでは数学オリンピック予選問題　第一問

この問題は簡単でしたね。

やはり、第一問目くらいはこうでなくっちゃ。

数学オリンピックの予選問題12問は、後半になればなるほど難しくなりますが、この難易差のコントラストが絶妙ですね。





nに入れる整数に大体見当がつくので、その辺りの数値を順次、代入していけば、答えはすぐでます。





終了


特に、コメントすべき事はありませんね・・・

数学的に言うと、与式は単調増加であるという事を付け加えれば完璧です。