遊びの数学を本気で楽しむ

これを証明する前に、まず補題を示す。

（補題1）


まず、xが偶数で、ｘ、ｙは互いに素なので、ｙは奇数。
よって、ｚも奇数である。

また、ｙとｚは互いに素である。

理由
ｙ、ｚが公約数を持っていれば
ｙ＝ｒｍ、ｚ＝ｒｎ（ｒ、ｍ、ｎ共に奇数）
と置け


より

となるが、ｘは偶数、ｒは奇数より、左辺は整数にならない。

したがって、ｙとｚは互いに素となる。


ｙ、ｚは奇数で互いに素より

は整数となり、互いに素である。
（これら2つの数に公約数があれば、先程と同様にｙ、ｚに公約数を持ってしまう。）



なので


を満たす整数ａ、ｂが存在し、
ａ＞ｂで、ａ、ｂは互いに素である。

理由

において

の2数は互いに素である事から、両数はどちらも平方数となるａ、ｂが存在する。


ここで、何故、両数が平方数となるのか補題で示す。


（補題2）

でｙ、ｚが互いに素の時、ｙ、ｚは平方数である。


平方数を因数分解すると、それぞれの素因数につく指数は必ず偶数となる。

ｙが平方数でないなら、ｙはｘの素因数のうちの少なくとも一つを、奇数の指数で因数として含んでいることになる。
という事は、ｚもその素因数を因数として含んでいることになり、ｙ、ｚは公約数を持つ事になる。

よって、（補題2）は示された。


話を戻す。

これまでの考察より

と置けば、

で与えられる。

またこの時、ａ、ｂは互いに素であり、ａ＞ｂも満たす。

これより、（題意1）も示された。



この（題意1）を使って、

を証明する。

この問題を証明するには

を示せば十分である。


もちろん背理法で示す。
上記の式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚが存在すると仮定する。

まず、ｘ、ｙは互いに素であるとしてよい。
（ｘ、ｙが公約数を持てば、ｚも同じ公約数を持ってしまう）

ｘ、ｙは互いに素なので、ｘとｙのどちらかは奇数である。
ここで、ｘ、ｙに関して対称なので、ｙを奇数としても一般性は崩れない。

奇数の４乗数は、必ず8で割ると1余る。


また、偶数の４乗数は、必ず8で割りきれる。


ｘを奇数とすると、ｙも奇数なので、ｚは偶数になる。
よって、ｚの平方数は4で割り切れる。

しかし、「（奇数の４乗数）＋（奇数４乗数）」は「8で割ると2余る」
要するに、「4で割ると必ず、2余ってしまう」

よって、ｘは奇数でありえない。
従って、ｘは偶数、ｙは奇数という事がわかる。

また、同時に、（ｘの平方数）は偶数、（ｙの平方数）は奇数である。


この事実を、先程の（補題1）に重ねてみると

なるａ、ｂが存在する。


yは奇数である事より、（ｙの平方数）は「4で割ると、1余る」数である。


より、ａ、ｂが共に偶数、又は共に奇数であれば、ｙは偶数となるので不適。
また、ａが偶数、ｂが奇数なら、（ｙの平方数）は「4で割ると、3余る」数になってしまう為、これも不適。

よって、ａは奇数で、ｂは偶数となる。


ここで、ｂ＝2ｃと置くと


また、ａ、ｂは互いに素なので、ａ、ｃも互いに素。
よって、ａもｃも平方数である。（補題2より）

したがって、

と書ける。
（ａは奇数より、ｄは奇数。ｄ、ｆは互いに素で、ｄ、ｆ＞0）

ｂ＝2ｃなので


よって


即ち


ｙは奇数なので、




上記のｆ、ｙ、ｄに関して、（補題1）を適応させると


なる、ｌ、ｍが存在する。

ここで

より、ｌ、ｍは互いに素なので、ｌもｍも平方数である事がわかる。（補題2より）
したがって

と書け、また、ｒ＞ｓで、ｒ、ｓは互いに素である。

よって

また




これらより


これで、無限降下法が成り立ち、矛盾が証明された。

よって


従って、当然、ｚが4乗でも成立することはなく

ｘ、ｙ、ｚが整数の時




～一言～

この難しさで、「フェルマーの最終定理」の序章の序章にも過ぎない。

これを、ｎ＝4ではなく、全ての自然数で証明するわけだ。
この問題が360年間、証明されなかった理由も分かる気がする。

補題の設け方に発想が必要とはなるが、それ以外はほとんど、「偶数」、「奇数」、「互いに素」で終始しているのが特徴である。

整数論の基本である。