いまさらですが、完全数・・・
大体、このブログのような数学系サイトを見られる方にとって、最も有名な数の一つである
完全数など今更だとはお思いでしょうが、もう少し突っ込んでみたいと思います。
完全数というのは「6（＝1+2+3）」のように、
その数自身以外の約数の和が、その数と等しい自然数の事で、6以外には、28、496、8128、・・・がある。
ピタゴラス学派は、初めの完全数が「6」なのは「神が6日間で世界を創造した」こと、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと考えていた。
我々からすれば、いかにもとってつけたかのような考え方ではあるが、整数の性質についてほとんど知られなかった時代に、
「万物は数である」と考えていたピタゴラスは、よほど完全数に神秘的な美しさを感じていたに違いない。
コンピューターの発達した現代でさえ、未だ完全数は44個しか見つかっておらず、全てが偶数である。
ある数が完全数なのかどうかを調べさせるのも、かなり苦労のいる作業なようです。
その44番目の完全数というのが
で、（ ）で括られている方の数の桁数で、980万8358桁だというのだから、時間もかかるというもうなづける。
そして、未だ
「完全数は無限にあるのか？」、
「奇数の完全数はあるのか？」については未解決のままとなっている。
まず、ある数Ｎが完全数だったとする。
Ｎを素因数分解すると
だったとしよう。
この事から、
Ｎが偶数、すなわち、
素因数分解した時に2を因数に持つときは
という形なり、メルセンヌ数が常に約数となっている。
※ちなみにメルセンヌ数とは
という形になっている数のこと
ちなみに、これを発展させ
という事が分かっている。
→は難しそうなので、←を証明してみよう。
まず、Ｎの約数の和Ｓを求めると
よって、Ｎ＝Ｓ－Ｎ
となり、Ｎの自分自身以外の約数の和がＮとなる。
完全数にまつわるエトセトラはまだまだあるので、次回も問題を解きながら完全数に焦点を当てたいと思う。
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