いやはや、先日から風邪引いたかなと思ってましたら、日曜月曜と４０度近くの熱が出てしまい、この二日間はずっと布団の中でうずくまっておりました。
昨日まで、体調はよくなかったのですが、また今日から復活という事で、自分に鞭を打って、ブログを更新させようと思います。
第三問
実は恥ずかしながら私は幾何学に関して、発想が豊かな自信がありません。
ですので、幾何学の問題を見ると、ついつい
座標を置いて解析的なアプローチを試みたり、
ベクトルや複素数を使ったりできないか模索してしまう癖があるのですが、どうもこの問題はうまくいきそうな気配がしません。
仕方なく、オーソドックスに幾何的な観点から問題を解くことにします・・・
ちなみに、解析的なアプローチで方程式を立てまくるとえらい混乱します。
（ただ、回転に始めに気づけばいけなくもない）
まず、円Ｏが三角形ＡＢＣの外心だから、Ｏを中心に頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通るように円がかける。
また、ＢＣ＝ＰＱだから、Ｐ、Ｑはどちらも線分ＡＢ、線分ＡＣ上にあることはないですね。
図にすると、こんな感じです。
点Ａ、Ｏを通る円の中心をＲとします。
この時点では点Ｒはどこかは不明ですね。
ここで、
円Ｏに注目してみます。
弧ＢＣに対する円周角は∠ＢＡＣ（∠Ａ）
そして、
円Ｒに注目。
弧ＰＱに対する円周角は∠ＰＡＱ（∠Ａ）
ＢＣ＝ＰＱ なのだから、円Ｏと円Ｒは半径の等しい円である事がわかる。円Ｒと円Ｏは半径が等しく、円Ｒは点Ｏを通っているのだから、円Ｏも点Ｒを通っている。
なので三角形ＡＯＲは正三角形になります。
ここからです。
特に、ここからは、よりわかりやすいように一つ一つ図をつけて、注目すべきと直線を赤くしたので参考に。
まずは直線ＯＰと直線ＡＣと三角形ＡＯＲについて見てみます。
円Ｒにおいて、弧ＡＯに対する円周角は、三角形ＡＯＲが正三角形より30°です。
（∠ＡＲＯ÷２＝３０）
従って、∠ＡＰＯ＝１８０－３０＝１５０°
よって、∠ＯＰＣ＝１８０－１５０＝３０°
次に、
直線ＯＡと直線ＡＣについて見てみましょう。
三角形ＯＡＣは、ＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形であることは明らか。
また、弧ＡＣに対する円周角は∠Ｂなので
∠ＡＯＣ＝２×∠Ｂ＝２Ｂ
従って、∠ＯＡＣ＝（１８０－２Ｂ）÷２＝９０－Ｂ
続いて、
三角形ＯＰＡについて見てみます。
先程より
∠ＯＰＣ＝３０
∠ＯＡＣ＝９０－Ｂ
よって、∠ＡＯＰ＝∠ＯＰＣ－∠ＯＡＣ＝３０－（９０－Ｂ）
∠ＡＯＰ＝Ｂ－６０
次に、
弧ＡＰに対する円周角をみます。
円周角より、∠ＡＯＰ＝∠ＡＱＰ＝Ｂ－６０
よって、∠ＰＱＢ＝Ｂ－６０
ここで、直線ＢＣと直線ＰＱの交点をＳとおく。
そして三角形ＢＱＳに注目。
∠ＡＢＣ＝Ｂ
∠ＢＱＳ＝Ｂ－６０
なのだから、ＰＱとＢＳの交わる角度は６０°
答えは、６０°
～一言～
難しい知識はいらないけれど、なかなかとっかかりのみつけにくい問題だったような気がします。
線分の長さの出てこない角度だけの幾何の問題は円と円周角を使うのは基本ですね。
幾何の基本の基本だけを使った難問でした・・・
幾何は発想がいる問題って結構、多いですよね
実は、この問題、三角形ＡＢＣを60度回転させたんです。
それがわかれば、複素数や解析的な方法でも解けます。
（ただ、複素数は数学オリンピックの範囲に含まれてないので・・・）
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