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数学史、整数論、数学オリンピック、未解決問題・・・をわかりやすく証明を通して解説していきます。

2008年日本数学オリンピック本選 第四問

最近、更新の頻度が非常に落ちているのにも関わらず、たくさんの人に見てもらえて感謝です。

しかし、こういったブログを見る人ってどんな人なんだろうと思うのも正直あります。
昔から、数学マニアというのは圧倒的少数派なので、こういう数学に興味を持つ人は少ないと勝手に判断したりしてましたが、それは間違っているんですね。

やはり、色んな意味で数学好きはあちこちにいるんですね。


数学オリンピック本選問題も第4問目まできました・・・

かなりペース落ちます。
こういう難問を解答して見せるというのは実に勇気がいるものでして、なかなか完全な正答でなければ書きにくいものです。

しかし、最大限の勇気を持って、解答したいと思います。


08050401.jpg


はっきり言って、私的には超難問です・・・


こういった問題は、国際数学オリンピックでも本選でも、ここ最近の定番の形ではありますが、こと本選では、ほとんどの人が高得点をとれないだろうと思われます。


というのも、こういった問題は「関数は写像である」という事を正しく認識していないと、証明に穴ができてしまうのです。
最後の答えがほとんど正解に近いからと言って高得点が得られる世界ではありません。

考え方に穴ができてしまうまでが部分点という正しい数学の世界では、こういった問題は非常にやっかいなのであります。



08050402.jpg

ここで、注目!!

f(x) というのはあくまで写像であるという事に注意して、安易に答えをださないようにしましょう。

関数fは実数値に対して定義されているので、
08050403.jpg
において、yにどんな値を入れても成立しているという事です。

これを(事実1)とします。

まず、この時点で、
08050404.jpg

また、x=0、y=0を代入すると
08050409.jpg


という事で、それ以外の関数を見つけていきましょう。

(事実1)より、yに実数tを入れたとすると、
08050405.jpg
のどちらかが常に成立していますね。


まず、ある実数yを代入した時、f(y)≠0だったとします。
その時 f(f(0)-y)=-yが成立している
訳です。

ここで、f(0)=c とおくと

08050406.jpg

これは、f(x)≠0となる時は必ず成立しているのです。


ここで与式に f(x)=x-c、y=0 を代入すると
08050407.jpg
もちろん、この式はf(x)≠0の時のxについて成立しているという事も忘れずに。

ここで、もし f(x-c)=x だったとしよう。
当然、上の式は成立するのは明らかである。


f(x-c)=x
なら、明らかに c=0 である。
もちろん、f(x)≠0 なので x≠0


よって、f(x)=x である。

08050411.jpg


従って、求める答えは

08050410.jpg


~一言~

答えとして、f(x)=x と f(x)=0 まで分かった人は多いのではないだろうか?


私の答えが正解ならば、f(x)=x と f(x)=0 だけでは、はっきり言って、点数は1点か2点位だろうと思われる。(数学オリンピック本選では1問7点)

それくらい、こういった問題は難しい。

こと「写像」というものは、高校までで習う「方程式」とは、概念として、天と地との開きがある。

「集合」という概念は非常にやっかいで奥が深い。



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2008年05月04日 | 数学オリンピック本選 | トラックバック(1)件 | コメント(3)件



コメント
私もこの問題について考えていましたが、中途半端に終わってしまいました。

自分の解答↓
http://ameblo.jp/mathing/entry-10084735821.html
2008/05/05(月) 07:40 | URL | リウ #-[ 編集]
リウ>

解答を見させていただきました。

補題の設け方にセンスがあっていいですね。


ただ、補題の証明に関しては、わかりにくかったので、もしよかったら
もっと詳しく教えてほしいです。
2008/05/06(火) 01:49 | URL | オイラー #-[ 編集]
また拝見させていただきました。
応援ポチッ!
2008/05/09(金) 18:17 | URL | サトシ #-[ 編集]
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 複素数、数列 etc
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