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数学史、整数論、数学オリンピック、未解決問題・・・をわかりやすく証明を通して解説していきます。

2009年日本数学オリンピック予選問題 第六問

第6問目

09022201.jpg


やっぱり私は、こういう幾何問題は好きではないですね・・・

図にするとこんな感じかな?

09022202.jpg


自分は昔から、幾何問題はまず座標平面に置く癖があるので、それでやってみます。


点Oを原点に、点AをX軸上に、点BをXY平面上に置きます。

すると、XY平面はこんな感じになるんじゃないですかね?

09022203.jpg


こうするとBの座標はすぐわかりますね。

Bは(2√2、2√2、0)ですね。


ということで、点Cの座標を(x、y、z)と置くと

09022204.jpg


ってな感じですね。


問題は体積を求めるわけだから、点Cの高さ、即ちzの値がわかれば、底面積×高さ÷3で求まるわけですな。


ここからなんですが、ベクトルを使えばすぐ答えが求まる事がわかりますね

ベクトルの内積の公式を思い出しましょう。

09022205.jpg


これをまず、三角形OACに当てはめてみましょう。

09022206.jpg


同様に、三角形OBCでも当てはめてみると

09022207.jpg


どうやら、点Cはxz平面上にあるみたいですね。

ここまできたらもう簡単。

09022208.jpg

09022209.jpg


答えは5ですね。



ただ、数学オリンピックってベクトルはアリでしたっけ??
ま、いいか!!

幾何的に解くとなかなか面倒くさいんじゃないでしょうか・・・

今回はこんなもんで・・・



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2009年02月22日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(0)件 | コメント(2)件



コメント
No title
幾何的に解きました。
OB上に点B’をOB’=5となるようにとります。
さらにOA’上にOA’=5/√2となるようにとります。
四面体OA’B’Cの体積をまず求める方針です。

∠OA’B=∠OA’C=90°なので、OA’は平面A’B’Cに垂直です。三角形A’B’Cは一辺5/√2の直角二等辺三角形なので、面積は25/4です。高さはOA’で5√2となって、あとは体積をOA/OA’とOB/OB’をかけて補正してやると5になりました。
2009/03/09(月) 19:44 | URL | 通りすがり #-[ 編集]
No title
通りすがり>

ほうほう、そういう方法もありますね。

幾何の問題は解法が色々あると思いますが、通りすがりさんの方法は正攻法の中では非常に簡単なやり方だと思います。
2009/03/10(火) 22:30 | URL | オイラー #-[ 編集]
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