第６問目
やっぱり私は、こういう幾何問題は好きではないですね・・・
図にするとこんな感じかな？
自分は昔から、幾何問題はまず座標平面に置く癖があるので、それでやってみます。
点Ｏを原点に、点ＡをＸ軸上に、点ＢをＸＹ平面上に置きます。
すると、ＸＹ平面はこんな感じになるんじゃないですかね？
こうするとＢの座標はすぐわかりますね。
Ｂは（２√２、２√２、０）ですね。
ということで、点Ｃの座標を（ｘ、ｙ、ｚ）と置くと
ってな感じですね。
問題は体積を求めるわけだから、点Ｃの高さ、即ちｚの値がわかれば、底面積×高さ÷３で求まるわけですな。
ここからなんですが、ベクトルを使えばすぐ答えが求まる事がわかりますね
ベクトルの内積の公式を思い出しましょう。
これをまず、三角形ＯＡＣに当てはめてみましょう。
同様に、三角形ＯＢＣでも当てはめてみると
どうやら、点Ｃはｘｚ平面上にあるみたいですね。
ここまできたらもう簡単。
答えは５ですね。
ただ、数学オリンピックってベクトルはアリでしたっけ？？
ま、いいか！！
幾何的に解くとなかなか面倒くさいんじゃないでしょうか・・・
今回はこんなもんで・・・
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ＯＢ上に点Ｂ’をＯＢ’＝５となるようにとります。
さらにＯＡ’上にＯＡ’＝５/√２となるようにとります。
四面体ＯＡ’Ｂ’Ｃの体積をまず求める方針です。
∠ＯＡ’Ｂ＝∠ＯＡ’Ｃ＝９０°なので、ＯＡ’は平面Ａ’Ｂ’Ｃに垂直です。三角形Ａ’Ｂ’Ｃは一辺５/√２の直角二等辺三角形なので、面積は２５/４です。高さはＯＡ’で５√２となって、あとは体積をＯＡ/ＯＡ’とＯＢ/ＯＢ’をかけて補正してやると５になりました。
ほうほう、そういう方法もありますね。
幾何の問題は解法が色々あると思いますが、通りすがりさんの方法は正攻法の中では非常に簡単なやり方だと思います。