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数学史、整数論、数学オリンピック、未解決問題・・・をわかりやすく証明を通して解説していきます。

2009年日本数学オリンピック予選問題 第九問

では、早速


09030501.jpg


問題分、長すぎます・・・

こういう長い文章は抵抗あります・・・


でも、よくよく読んでみると、あまりややこしい問題でもないんだな、これも。

では解答します。



面倒くさいので、5つの言語をそれぞれA、B、C、D、Eとしましょう。

この5つの言語から2つ取り出す組み合わせは5C2だから10通り。

そして、通訳の人間の数は10人で、それぞれが違う言語の組み合わせになっているんだから
AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE
という風に、10人がいるという事になりますね。

この10人が2人ずつ5つの部屋に宿泊するわけです。


まず、1部屋目にABが泊まるとすると、相部屋になれるのは
AC、AD、AE、BC、BD、BE
の6名ですね
09030502.jpg


ここで、ACがABと同じ部屋になったとしよう。
そうすると、ADは誰と同じ部屋になるか?

それはAE、BD、CD、DEの4名ですね。
09030503.jpg


○ADとAEが同じ部屋になった場合

残りは
BC、BD、BE、CD、CE、DE
の6人が2人ずつ3つの部屋に泊まる事になります。
09030504.jpg


BCと同じ部屋に入れるのは4人います。
09030505.jpg


実は、この4人のうち誰と同じになっても残りの部屋の組合せ方は2通りずつになります。
ですので、この場合
(BC、BD)(BE、CE)(CD、DE)
(BC、BD)(BE、DE)(CD、CE)
(BC、BE)(BD、CD)(CD、DE)
(BC、BE)(BD、DE)(CD、CE)
(BC、CD)(BD、BE)(CE、DE)
(BC、CD)(BD、DE)(BE、CE)
(BC、CE)(BD、BE)(CD、DE)
(BC、CE)(BD、DE)(BE、CD)
の8通りしかありません


○ADとAEが同じ部屋ではない場合

ADと同じ部屋になれるのはBD、CD、DEの3人。
そして
AEと同じ部屋になれるのはBE、CE、DEの3人。
09030506.jpg


DEはADの部屋でも、AEの部屋でもオッケーという訳です。

ADと同じ部屋になるのは3通り、
AEと同じ部屋になるのは3通りですが、
DEはどちらかの部屋にしか宿泊できないので
3×3-1=8通りの泊まり方があります。

実際にやっていただければわかるのですが、
ADとAEと同じ部屋に入る人を勝手に決めると残りの2部屋は先程と同様に各々2通りずつの泊まり方ができます。

よって、この場合の8×2=16通り。

以上で、ABとACが同じ部屋の場合の組み合わせ方は8+16=24通り

ABが同じ部屋になれる人は6人おり、ABを除いた9人はAとBに関して対称になっているから、求める答えは
6×24=144通り
となる。


どうでしょう??


こういう問題は、イメージをテキストや画像にしにくいので、ちょっと伝えにくいですね・・・(終)



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2009年03月08日 | 数学オリンピック予選 | トラックバック(0)件 | コメント(0)件



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