どもども～～
やっと、最終問題まできましたね
ホント、疲れてくるんですよね～～～
しかし、まぁ最終問題もサラッと終わらせちゃいましょう。
しかぁ～～～し、本選問題もあるではないですか！！！
な、な、なんと・・・
これも、いずれ挑戦しちゃいましょう。
では第12問目
この問題は、考えれば考える程、悩んでくる問題ですね。
問題文がややこしいんですよ・・・
数学オリンピックの予選問題は１２問中、大体、一個か二個は問題文のややこしい問題がありますね？？
要するに、わかりやすく言うと
「空間内にある１０個の点の集合を平面で区切って、二つの集合に分ける方法はいくつありますか」
ってことですよ。
ちなみに、問題文は「半空間と部分集合の共通部分」なので、若干ニュアンスは違いますが・・・
イメージってことで・・・
まず、１０個の点からなる多面体を想像します。
仮に１０個の頂点を持つ多面体がこんな形していたとしましょう。
この図は、頂点の数１０、辺の数２４、面の数１６です。
注意しましょう。
この多面体はどの４点も同一平面上にないんだから、多面体の面は全部三角形になりますよ。
では早速、解答していきましょう。
○共通部分が１個の場合
要するに、ある平面によって１０個の点が９個と１個に分かれてしまう場合です。
図にするとこんな感じ
これは、頂点の数だけ分け方があるから、１０通り。
ただ注意として、問題は「半空間と集合の共通部分」って所は頭の片隅においておきましょう。
○共通部分が２個の場合
さっきと同じように考えましょう。
これは、辺の数だけあるから、２４通り。
ここからが非常に想像するのが難しい・・・
共通部分が３個の場合は同様に面の数になるから１６通りといきたい所です。
このまま、「共通部分が４個の場合」を考えると鉛筆が止まります・・・
○共通部分が３個以上ある場合
・・・でくくるのが正解
１０個の頂点のうち３点を通る平面を考えましょう
空間を平面で２つにわけて、どちらかを半空間と定義するんだから、半空間の数え方は10Ｃ3×2＝２４０通り。
このままではいかんです・・・
この３点を通る２４０通りの平面のうち、多面体の面を２重に数えているわけです。
何と２重に数えているか？？
問題が定義している「半空間」は面を含んでいませんね。
という事は、多面体の面で空間をわける際、半空間と集合Ｓの共通部分が０になる場合を、１６通り多く数えている
わけですよ。
という事は、２４０－１６＝２２４通り
これは、共通部分が０個の時と１０個の時を含んでいないことに注意してくださいよ！
後はこれに、半空間と集合Ｓの共通部分が０になる時と１０になる時、それぞれ１つずつが考えられるので、求める
答えは１０＋２４＋２２４＋２＝２６０通り。
いやはや、なんとも後味の悪い12問目でしたね・・・
ちょっと休憩です・・・
（簡単に反例は見つかります。）
あと、共通部分が3個以上の場合の説明が分からないです。
（3頂点を含む平面に限ってる点や、共通部分が1個や2個の場合と重複する可能性を無視してる点など。）
答えは合っているのでオイラーさんの頭の中では正しく推論出来てるのかもしれませんが…？？