遊びの数学を本気で楽しむ

ｂはａで割り切れないと仮定します。
ｂをａで割った時の余りをｋとおく。（ｋはａより小さい整数）

すると
「（ｂの3乗）をａで割った余り」と「（ｋの3乗）をａで割った余り」は等しい。（合同式の累乗）

という事は、同様に
「（ｂの3乗）を（ａの2乗）で割った余り」と「（ｋの3乗）を（ａの2乗）で割った余り」は等しい。
「（ｂの3乗）を（ａの2乗）で割った余り」というのは「0」なので、「（ｋの3乗）を（ａの2乗） で割った余り」も「0」になるはずです。

しかし、ｋはａで割り切れないので、（ｋの3乗）もａで割り切れない。
という事は（ｋの3乗）は（ａの2乗）でも割り切れるはずはないですね。


ｂはａの倍数である事がわかったので、ｂ＝ｍａとおきましょう。（ｍは整数）
これを①の式に代入すると


よって


これに「解の公式」をそのまま当てはめてみよう。

すると


まず、この√が整数にならなければいけない。

ここで

とおくと





ここまで来れば、後一息だ。

（ｍ－８－ｔ、ｍ－８+ｔ）の組み合わせとしてありえるのは

（１、６４）　（－１、－６４）　
（２、３２）　（－２、－３２）
（４、１６）　（－４、－１６）
（８、８）　　（－８、－８）
（１６、４）　（－１６、－４）
（３２、８）　（－３２、－８）
（６４、１）　（－６４、－１）　　の１４通り

ってことは、ｍ－８、ｔもどちらも整数なので


（ｍ－８、ｔ）の組み合わせは

（１７、１５）　　（－１７、－１５）
（１０、６）　　　（－１０、－６）
（８、０）　　　　（－８、０）
（１０、－６）　　（－１０、６）
（１７、－１５）　（－１７、１５）　　の１０通り

よって　ｍは　２５、１８、１６、０、－２、－９


あとは、それぞれの場合で計算していこう。

○　ｍ＝２５の時



ａは整数なので、ａ＝１２５　　よってｂ＝３１２５　（ｂ＝ｍａね）

○　ｍ＝１８の時

先ほどと同様に計算すると　（式は省きます・・・m( __ __ )m ）

ａ＝５４、２７　よって（ａ、ｂ）＝（５４、９７２）（２７、４８６）

○　ｍ＝１６の時

ａ＝３２　　　よって（ａ、ｂ）＝（３２、５１２）

○　ｍ＝０の時

ａ＝０　　　　よって（ａ、ｂ）＝（０、０）

○　ｍ＝－２の時

ａ＝２、－１　よって（ａ、ｂ）＝（２、－４）（－１、２）

○　ｍ＝－９の時

ａ＝２７　よって（ａ、ｂ）＝（２７、－２４３）


一応、初めに、両辺を（ａの2乗）で割った時の場合分けとして、「ａ＝０の時、明らかにｂ＝０」も書いておくべきだね。結果として答えは被ってくるけど、必要です。



よって、答えはこの８通りになるわけだ。

（ａ、ｂ）＝（１２５、３１２５）
　　　　　　（５４、９７２）
　　　　　　（２７、４８６）
　　　　　　（３２、５１２）
　　　　　　（０、０）
　　　　　　（２、－４）
　　　　　　（－１、２）
　　　　　　（２７、－２４３）


～一言～


この問題は意外にてこずったり、全部の答えを出せなかったりした人が多かったんじゃないかな？？
特に難しい知識は使ってはいないが、式の変形に少しテクニックが必要なんだろうと思われます。

ＹＡＨＯＯの知恵袋でも同じ問題が出てたけど、この解答は間違ってるしね。
⇒こちらがリンク

この数え上げは、なかなか根気がいります。
実際の試験で確認の演算をすれば、恐ろしくめんどくさいはず・・・

もしかしたら、もっと簡単に８通りってできるかもしれないな～



それにしても、この記事を書く方が疲れました・・・