を満たす整数の組 (a、b)の組はいくつあるか。この問題も2007年の数学オリンピックの予選問題の9問目ですが、4問目と同様に整数に関する問題になりますね。
しかし、四問目よりもややこしい作りになっている。
数学オリンピックに出てくる整数問題は結構、数え上げに尽きるという面もあるので、これも根気よ く数え上げてやりましょう。
ちなみに私は答を知らないので、間違っていたらごめんなさい・・・
まずは、どう料理していこうか??
aかbかの方程式F(a)、F(b)として考えて、因数分解???
そんな事しても、おそらく解けないだろうなぁ・・・と思ったらやめましょう。
とりあえず、
両辺を(aの2乗)で割っちゃいましょう。
その前に、
実際の解答では「aは0でない時」と一言、添えておきましょう。 これがなければ、確実に減点となります。
すると
この式を①と置きましょう。
この両辺は整数にならないとおかしい。
ってことは
(bの3乗)は(aの2乗)で割り切れるわけですな。
という事は
(b)は(a)で割り切れる。 ※これに疑問を持った方は、センスあります。こういう疑問はどんどん持っていきましょう。
こういう疑問から理論は解明・発展していくわけだ。
ここからが重要
bはaで割り切れないと仮定します。
bをaで割った時の余りをkとおく。(kはaより小さい整数)
すると
「(bの3乗)をaで割った余り」と「(kの3乗)をaで割った余り」は等しい。(合同式の累乗)
という事は、同様に
「(bの3乗)を(aの2乗)で割った余り」と「(kの3乗)を(aの2乗)で割った余り」は等しい。
「(bの3乗)を(aの2乗)で割った余り」というのは「0」なので、「(kの3乗)を(aの2乗) で割った余り」も「0」になるはずです。
しかし、kはaで割り切れないので、(kの3乗)もaで割り切れない。
という事は(kの3乗)は(aの2乗)でも割り切れるはずはないですね。bはaの倍数である事がわかったので、b=maとおきましょう。(mは整数)
これを①の式に代入すると
よって
これに「解の公式」をそのまま当てはめてみよう。
すると
まず、この√が整数にならなければいけない。
ここで

とおくと


ここまで来れば、後一息だ。
(m-8-t、m-8+t)の組み合わせとしてありえるのは
(1、64) (-1、-64)
(2、32) (-2、-32)
(4、16) (-4、-16)
(8、8) (-8、-8)
(16、4) (-16、-4)
(32、8) (-32、-8)
(64、1) (-64、-1) の14通り
ってことは、m-8、tもどちらも整数なので
(m-8、t)の組み合わせは
(17、15) (-17、-15)
(10、6) (-10、-6)
(8、0) (-8、0)
(10、-6) (-10、6)
(17、-15) (-17、15) の10通り
よって mは 25、18、16、0、-2、-9
あとは、それぞれの場合で計算していこう。
○ m=25の時
aは整数なので、a=125 よってb=3125 (b=maね)
○ m=18の時先ほどと同様に計算すると (式は省きます・・・m( __ __ )m )
a=54、27 よって
(a、b)=(54、972)(27、486)○ m=16の時a=32 よって
(a、b)=(32、512)○ m=0の時a=0 よって
(a、b)=(0、0)○ m=-2の時a=2、-1 よって
(a、b)=(2、-4)(-1、2)○ m=-9の時a=27 よって
(a、b)=(27、-243)一応、初めに、
両辺を(aの2乗)で割った時の場合分けとして、「a=0の時、明らかにb=0」も書いておくべきだね。結果として答えは被ってくるけど、必要です。よって、答えはこの8通りになるわけだ。
(a、b)=(125、3125)
(54、972)
(27、486)
(32、512)
(0、0)
(2、-4)
(-1、2)
(27、-243)~一言~
この問題は意外にてこずったり、全部の答えを出せなかったりした人が多かったんじゃないかな??
特に難しい知識は使ってはいないが、式の変形に少しテクニックが必要なんだろうと思われます。
YAHOOの知恵袋でも同じ問題が出てたけど、この解答は間違ってるしね。
⇒
こちらがリンクこの数え上げは、なかなか根気がいります。
実際の試験で確認の演算をすれば、恐ろしくめんどくさいはず・・・
もしかしたら、もっと簡単に8通りってできるかもしれないな~
それにしても、この記事を書く方が疲れました・・・
よろしければ、クリックお願いします⇒
「数学ブログ」
ついでに、こちらも参加しております⇒
「人気ブログランキング」
« 素数1 「数の原子」 l ホーム l 公約数、公倍数の性質 »
は(b)は(a)で割り切れるというのは題意を満たすa、bの場合です。
証明法に少し説明不足の節があると思います。
bをaで割ったあまりがkですが、aとbの大小関係がわからないのでb=kが考えられます。
例えばb=4、a=8の場合です。
このときbの3乗はaの2乗で割り切れます。
これの証明として
a=pα、b=pβ
pはaとbの最大公約数としαが1でないと仮定し、これらを題意に代入すると、βがαで割り切れることを示せて矛盾。
よってα=1より、題意を満たすbはaで割り切れる。
後の解法は私も同じやり方で出しました。